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【例1】 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值.

分析:本题主要考查抛物线的性质和定义及有关抛物线的运算.

解:抛物线方程应设为y²=－2px(p>0),

则焦点是F(－ ,0).

∵点M(－3，m)在抛物线上，且|MF|=5,

故

解得 或

∴抛物线方程为y²=－8x,m=±2 .

【例2】 设抛物线y²=4x截直线y=2x+k所得弦长|AB|=3 .

(1)求k的值；

(2)以弦AB为底边，x轴上的P点为顶点组成的三角形面积为39时，求点P的坐标.

分析:本题考查直线与抛物线的性质及综合运算能力.

解:(1)设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),由

得4x²+4(k－1)x+k²=0,Δ=16(k－1)²－16k²>0,

∴k< .

又由韦达定理x₁+x₂=1－k,x₁x₂= ,

∴|AB|= = · = · .

即 =3 ,∴k=－4.

(2)设x轴上点P(x,0),P到AB的距离为d,则

d= = ,

S_△PBC= ·3 · =39，

∴|2x－4|=26.

∴x=15或x=－11.

∴P点为(15，0)或(－11，0).

【例3】 设抛物线y²=2px(p＞0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明:直线AC经过原点O.

分析:本题考查抛物线与直线的概念和性质,同时考查逻辑推理能力和运算能力.

证法一:如图所示,因为抛物线y²=2px(p＞0)的焦点为F( ,0)，所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+ .

代入抛物线方程得

y²－2pmy－p²=0.

若记A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，则y₁、y₂是该方程的两个根，所以y₁y₂=－p².

因为BC∥x轴，且点C在准线x=－ 上，所以点C的坐标为(－ ,y₂).

故直线CO的斜率为k= = = ,

即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.

证法二:设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

因为BC∥x轴，所以C(－ ,y₂).

因为A、B在抛物线上，

所以y₁²=2px₁,y₂²=2px₂.

又因为直线AB过焦点F，

所以k_AF=k_BF,即 = .

所以 = .

所以y₁y₂(y₂－y₁)=p²(y₁－y₂).

因为y₁≠y₂,所以y₁y₂=－p².

因为k_OC= = = = =k_OA,

所以直线AC经过原点O.

【例4】 抛物线有光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y²=2px(p>0),一光源在点M( ，4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l:2x－4y－17=0上的点N，再反射后又射回点M(如图).

(1)设P、Q两点的坐标分别为(x₁,y₁)、(x₂,y₂)，证明:y₁·y₂=－p²；

(2)求抛物线的方程；

(3)试判断:在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由.

(1)证明:由抛物线的光学性质及题意知光线PQ必过抛物线的焦点F( ,0),设直线PQ的方程为y=k(x－ ).                                                                                                        ①

由①式得x= y+ ,将其代入抛物线方程y²=2px中，整理得y²－ y－p²=0.由韦达定理，y₁y₂=－p².

当直线PQ倾斜角为90°时，将x= 代入抛物线方程，得y=±p，同样得到y₁y₂=－p².

(2)解:因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称.设点M( ，4)关于l的对称点为M′(x′,y′)，

则

解得

直线QN的方程为y=－1,Q点的纵坐标y₂=－1,由题设P点的纵坐标y₁=4,且由(1)知y₁y₂=－p²,则4·(－1)=－p²,得p=2.

∴所求抛物线的方程为y²=4x.

(3)解:将y=4代入y²=4x,得x=4,故P点坐标为(4，4).

将y=－1代入直线l的方程2x－4y－17=0,得x= ,故N点坐标为( ，－1).

由N、P两点坐标得直线PN的方程为2x+y－12=0.设M点关于直线NP的对称点M₁(x₁,y₁),

则

解得

M₁( ,－1)的坐标是抛物线方程y²=4x的解，故抛物线上存在一点( ，－1)与点M关于直线PN对称.

●试题详解

高中同步测控优化训练(十三)

第八章  圆锥曲线方程(二)(A卷)

说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.

第Ⅰ卷(选择题  共30分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

1.已知抛物线的焦点坐标为(－3,0),准线方程为x=3,则抛物线方程是

A.y²+6x=0                                                       B.y²+12x=0

C.y+6x²=0                                                       D.y+12x²=0

分析:本题考查抛物线的方程.

解:由题意知p=6,焦点在x轴上,开口向左,顶点在原点,所以方程为y²=－12x,即y²+12x=0.

答案:B

2.若抛物线y²=2px(p>0)上三点的横坐标成等差数列，那么这三点与焦点F的距离的关系是

A.成等差数列

B.成等比数列

C.既成等差数列，又成等比数列

D.既不成等差数列，也不成等比数列

解析:假设抛物线上三点A、B、C的横坐标分别为x_A、x_B、x_C,根据焦半径公式可知:|AF|=x_A+ ,|BF|=x_B+ ,|CF|=x_C+ .

又∵x_A、x_B、x_C成等差数列,

∴|AF|、|BF|、|CF|也成等差数列.

答案:A

3.设过抛物线的焦点F的弦为PQ，则以PQ为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是

A.相交                                                            B.相切

C.相离                                                            D.以上答案均有可能

解析:如图，作PM⊥l于M，QN⊥l于N，由抛物线定义知|PM|=|PF|，|QN|=|QF|，|PM|+|QN|=|PQ|.设QP的中点为O₁，过O₁作O₁G⊥l于G，|O₁G|= (|PM|+|QN|)= |PQ|.

∴以PQ为直径的圆与准线l相切.

答案:B

4.已知mn≠0,则方程mx²+ny²=1与mx+ny²=0在同一坐标系下的图形可能是

分析:本题考查二次方程的曲线.

解:∵mn≠0且mx²+ny²=1,∴m＞0,n＞0或m＞0,n＜0或m＜0,n＞0.当m＞0,n＞0时,mx²+ny²=1的轨迹为椭圆,mx+ny²=0是焦点在x轴负半轴的抛物线；当m＞0,n＜0时,mx²+ny²=1是焦点在x轴上的双曲线,mx+ny²=0为开口向右的抛物线；当m＜0,n＞0时,mx²+ny²=1是焦点在y轴上的双曲线,mx+ny²=0为开口向右的抛物线.故选A.

答案:A

5.抛物线y=ax²的准线方程是y=2,则a的值是

A.                                                                B.－

C.8                                                                 D.－8

分析:本题考查抛物线的方程.

解:抛物线标准方程形式为x²= y,其准线方程为y=－ =2,得a=－ .

答案:B

6.关于x、y的方程x²+ky²=1不能表示的曲线是

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