等距线的画法

本文作者 徐庆荣（武汉大学）

 等距线画法可分为栅格（光栅）方式和矢量方式二种。栅格方式一般采用“距离变换”等算子实现，算法简练，但在不同方向上的等距线可能不严格等距。矢量方式是按几何关系通过坐标计算获得等距线位置，算法复杂，但精度高。本文介绍的是矢量方式的等距线画法。

1.       概述

简言之，等距线是指与已知线条（折线或曲线）等距的线条。等距线的应用甚广，例如：在地图上用于表示由平行线组成的各种线状符号（如道路，管线等）；在多边形内可由一系列闭合的等距线（称等距圈或同心线，例如在CorelDraw中执行Effects->Contour选项所产生的图形）来表示某种区域特征；在GIS“缓冲带”分析时，“缓冲带”的轮廓就是以某一线状要素为中轴在其两侧构造等距线，并使两端闭合的图形。又如，沿海国家可按等距线方法计算确定专属经济区海域的界线。此外，等距线还用于数控机床刀路计算和机器人行走路径规划等。

设等距线偏离（法线方向）已知线条的距离用d 表示。若有已知曲线C，在C 上的每点沿法线方向（同侧）与该点相距d 处定一新点，则这些点的轨迹C₀ 称为曲线C 的等距线。

这里，我们称构造等距线所依据的已知线条（折线或曲线）为原始线。当原始线是折线时，等距线可用“推平行线”法产生。若原始线是任一参数曲线C（t），则理论上其等距线的数学表达式为

C₀(t) = C(t) ±（d·N(t)）

式中t 为曲线参数，N（t）为曲线在t 处的单位主法矢量，其方向指向曲线凹的一侧。式中的正号或负号取决于等距线的偏离方向。当等距线偏离方向与主法矢量同向时取正号，反之取负号。在曲线拐点处，法矢量为不确定，须作特殊处理。若C（t）＝{ x（t），y（t）}，即C（t）为平面参数曲线，则

N(t)={-y’(t)／sqrt((x’(t))²+(y’(t)) ²) ，x’(t)／sqrt((x’(t)) ²+(y’(t)) ²)}

2.       折线的等距线

原始线为折线的等距线，其计算和绘制过程（“推平行线”）如下。

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